Эффективное ценообразование европейских, американских и экзотических опционов с многократными дискретными дивидендами с использованием метода конечных разностей

Современная система алгоритмической торговли на электронных биржах должна рассчитывать теоретические цены тысяч европейских, американских и экзотических опционов в режиме реального времени. Гораздо сложнее выполнять это требование, если по базовым активам выплачиваются дискретные дивиденды в течение срока действия опциона, поскольку точные аналитические формулы обычно не доступны в этом случае и используются более трудоемкие численные методы. В данной статье мы рассматриваем ценообразование европейских и американских опционов, а также азиатских опционов с многократными дискретными дивидендами. Мы описываем общий подход для всех рассматриваемых задач, основанный на конечно-разностном решении уравнения Блэка-Шоулза (БШ) в частных производных с использованием схемы Кранка-Николсона (КН) с дроблением временного шага метдом Раннахера. Если существует точная или приближенная аналитическая формула для расчета цены опциона без дивидендов, мы применяем ее в качестве конечного условия на последнюю экс-дивидендную дату вместо стандартной функции выплаты в дату исполнения. Этот оригинальный подход существенно улучшает численные результаты для европейских и экзотических опционов, потому что такие конечные условия являются гладкими, в то время как функции выплаты таковыми не являются, что крайне важно для схемы КН. Кроме того, время вычислений сокращается пропорционально сокращению временной области. Этот подход эффективен также для азиатских опционов, дивиденды которых выплачиваются до периода усреднения, поскольку он понижает размерность уравнения БШ в этом случае. Основные характеристики: Разработан подход для оценки европейских, американских и экзотических опционов с дивидендами; Схема Крэнка-Николсона с временным шагом Раннахера обеспечивает стабильность; Конечное условие переносится на дату последнего дивиденда, если имеется аналитическое решение.